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2 marzo, 2014

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Modelado de líneas de transmisión (Parte 1)

1.1 INTRODUCCION

 

La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta centros de consumo. La transmisión de dicha energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y de acuerdo al diseño de la línea puede ser de transmisión aérea o subterránea.

lineas de transmision

Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución.

 

En México y otros países, los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 66 hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por último, niveles de tensión menores a 34.5 kV están relacionados con redes de distribución.

 

Por otro lado, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo que el aislante común entre conductores es el aire circundante a los conductores, además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica.

 

En base a esto, es necesario desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales:

 

  • Resistencia serie
  • Inductancia serie
  • Conductancia en derivación
  • Capacitancia en derivación.

 

Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los correspondientes al efecto en derivación.

 

Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.

 

1.2 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISIÓN.

 

Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

 

1.2.1 Resistencia de la Línea

 

La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número de los mismos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

 

1.2.1.1 Resistencia de Corriente Directa

 

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente:

 

resistencia1

(1.1)

 

donde:

 

ρ = resistividad del material conductor (Ω-m)

l = longitud del conductor (m)

A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m²)

 

Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft², respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas, que es lo más usual.

 

1.2.1.2 Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia.

 

Un cambio en la temperatura causará una variación en la resistencia, en forma prácticamente lineal, dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Esta variación está dada por la siguiente ecuación:

resistencia2

Donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2, respectivamente. La constante T depende del material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero. Para el aluminio T es aproximadamente 228. Puede concluirse que un incremento de temperatura causa un aumento de la resistencia y viceversa.

 

1.2.1.3 Efecto Piel

 

Para el análisis de este efecto, será necesario considerar lo siguiente:

 

1. A partir de la Figura 1.1, donde se muestra un conductor seccionalizado transversalmente, en el cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro, se hará el análisis.

 

conductor seccion transversalFigura 1.1.  Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos.

 

2. Las dimensiones del conductor son uniformes, es decir, si se secciona el conductor en diferentes tramos, todas las secciones transversales resultarán ser iguales.

3. La corriente será la misma para toda la longitud del conductor, esto es, la corriente que entra por un extremo del conductor, será la misma que saldrá por el otro extremo.

4. Apoyándose en las dos suposiciones anteriores, puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial.

 

Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos, ésta será la misma para ambos (suposición 4). En corriente directa, la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Si se trata de corriente alterna, además de la caída de tensión por resistencia, existirá un voltaje inducido en cada filamento, resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A, debido a la posición geométrica de ambos. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A), serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). Por lo tanto, para producir caídas de tensión iguales, las densidades de corriente deben ser mayores cerca de la periferia del conductor, para compensar la reactancia menor.

 

El resultado final es que la energía electromagnética no se transmite en el interior del conductor sino que viaja en las regiones que rodean el conductor debido a que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no es uniforme, siendo este fenómeno conocido como efecto piel, el cual causará que la resistencia de c.d. se incremente ligeramente. Esta es la llamada resistencia de c.a. Por otro lado, la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida.

 

Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas, se tendrá lo siguiente:

 

resistencia3

 

 y para la inductancia interna:

resistencia4

Donde αR y αL son ligeramente mayor y menor que la unidad, respectivamente.

 

1.2.1.4 Efecto Corona

 

Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa, sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión, debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales.

 

Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos debidos a altas densidades de carga cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase.

 

El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos, llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores.

 

Comúnmente, estas pérdidas se expresan en kW/km, pero resulta difícil de obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta, debido a la gran cantidad de variables involucradas. Los resultados son obtenidos usando relaciones empíricas y métodos estadísticos. Sin embargo, el efecto corona debe tomarse en cuenta para diseñar adecuadamente las líneas de transmisión.

 

1.2.2 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas.

 

Como se mencionó anteriormente, este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra.

 

Para condiciones normales de diseño, la reactancia correspondiente a la inductancia, xL = ωL, es la parte dominante de la impedancia serie, la cual determina el efecto sobre la capacidad de transmitir y la caída de tensión. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación x/r >> 1 para líneas de transmisión de alta tensión.

 

El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las corrientes en las líneas tienen una trayectoria de retorno a través de los neutros de los equipos conectados a tierra. La tierra se simula por medio de un conductor ficticio de longitud infinita, situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. A este conductor se le supone un radio medio geométrico, denotado por Dsg, igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los conductores de la línea. La Figura 1.2 representa esta situación.

 

efecto de retorno por tierraFigura 1.2. Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.

 

Al observar la Figura 1.2, las caídas de tensión están dadas por:

resistencia5

Sabiendo que: resistencia6

Se deduce que:resistencia6b

Restando renglones en la ecuación (1.3):

resistencia7

Además,

resistencia7b

Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente, resultando:

resistencia8

donde:

 

resistencia9

(1.4)

 

cuyas componentes son impedancias primitivas, las cuales, a su vez, están definidas por las siguientes expresiones:

 

resistencia10

Ωul  (1.5)

 

donde ra es la resistencia del conductor de la línea, rg es la resistencia del supuesto conductor que representa al efecto de retorno por tierra; ω es la frecuencia en rad/sLa y Lg son las inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra, respectivamente, mientras que Mag representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores; ul representa cualquier unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud.

 

Si se substituye las expresiones (1.5) en la ecuación (1.4), se obtiene lo siguiente:

 

resistencia11

 (1.6)

 

donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes:

 

resistencia12a

(1.7)

 

En estas expresiones (1.7)S es la longitud del conductor  a.  Si se suman las inductancias, tal como se describe en (1.6)

 

resistencia15

(1.8)

 

Sabiendo que  Dsg = 1, se definirá a la constante De como:

 

resistencia16

(1.9)

 

y substituyendo en la ecuación (1.7), la impedancia de la línea estará dada por:

 

resistencia17

(1.10)

 

En las expresiones anteriores, Dsa es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a. Para calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra, Carson encontró que, empíricamente, ésta puede calcularse mediante las fórmulas siguientes:

 

resistencia18

(1.11)

 

donde  f  es la frecuencia en ciclos/s o Hz. El cálculo de la constante De está dado por:

 

resistencia19

(1.12)

 

siendo ρ  la resistividad de la tierra en Ωm.

 

1.2.3    Ecuaciones de Carson

 

En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea.

 

Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes:

 

resistencia20

Ω/mi     (1.13)

 

resistencia21

&#937/mi     (1.14)

 

donde:

resistencia22= impedancia propia del conductor i.

 

resistencia23= impedancia mutua entre los conductores i y j.

resistencia24= resistencia del conductor i.

resistencia25= frecuencia en rad/s.

G = 0.1609347

resistencia26= radio exterior del conductor i.

Los factores resistencia27,resistencia28 ,resistencia29resistencia30 se determinan mediante las Series de Carson siguientes:

resistencia31

resistencia32

donde: resistencia33

Las distancias  y   se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 1.3, donde las primeras relacionan a los conductores con sus imágenes.

resistencia36
Figura 1.3 Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.

 

Normalmente,  >>,  de modo que los ángulos  serán pequeños y las funciones Cos(.) dentro de las expresiones de la Serie de Carsonpodrán ser aproximadas a 1. Para una distancia = 100 pies, una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 Ω-m, se tiene que:

 

resistencia38

 

de modo que puede aproximarse a lo siguiente:

resistencia39

De la misma manera,

resistencia40

que, de acuerdo a los resultados anteriores, puede simplificarse a:

resistencia41

Analizando de manera más detallada la expresión anterior, se obtiene lo siguiente:

resistencia42

Resultando:

resistencia43

Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que:

resistencia44

(1.15)

 

resistencia45

(1.16)

Substituyendo las expresiones anteriores en (1.13):

resistencia46

donde:

resistencia47

resistencia48

(1.18)

 

resistencia49a


 (1.19)

Substituyendo (1.15) dentro del paréntesis en (1.17), este resulta en lo siguiente:

resistencia50

Definiendo:

resistencia51    ft

Entonces,

resistencia52

 Ω/mi (1.20)

De la misma manera:

resistencia53

 &#937/mi (1.21)

Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para  k  y  para , los cuales se presentan en la Tabla 1.1.

Tabla 1.1   Constantes para el cálculo de inductancias.

 

Constante

Unidad de Longitud

Logaritmo Natural

Logaritmo Base 10

k

2 π k

km

mi

km

mi

0.0002000

0.0003219

0.001257

0.002022

0.0004605

0.0007411

0.002893

0.004656

ƒ = 50 Hz

ƒk

ω k

km

mi

km

mi

0.01000

0.01609

0.06283

0.10111

0.02302

0.03705

0.14460

0.23280

ƒ = 60 Hz

ƒk

ωk

km

mi

km

mi

0.01200

0.01931

0.07539

0.12134

 0.02763

 0.04446

  0.17360

0.27940

Las expresiones siguientes son una forma alterna de las ecuaciones de Carson:

Términos diagonales                         Zii-g = (ri+Rii-g) +j (xi + Xii-g)

 

Términos fuera de la diagonal           Zij-g = Rij-g + jXij-g

 

Donde

ri es la resistencia interna del conductor i

xi es la reactancia interna del conductor i

Rii-g es la componente resistiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra

Xii-g es la componente reactiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra

Rij  y  Xij son las componentes resistiva y reactiva de las impedancias mutuas Zij-g respectivamente considerando efecto por tierra.

 

Las componentes internas ri  y  xi para un conductor particular se obtienen de los manuales de conductores. Las componentes externas se encuentran mediante las ecuaciones:

ecuacion carson

Continue leyendo la 2da y 3ra parte, de este interesante artículo:

 

Modelado de líneas de transmisión (Parte 2)

Modelado de líneas de transmisión (Parte 3)

 

Bibliografía:

  • Mo-Shing Chen, Power System Modeling, University of Texas at Arlington
  • Paul Anderson, Analysis of Faulted Power System,

 

Fuente: elec.itmorelia

 

 

Se agradece a los autores por el valioso aporte:

Autores:

Dr. José Horacio Tovar Hernández

Dr. Héctor Francisco Ruiz Paredes

Instituto Tecnológico de Morelia , México (2011)

 

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8 Comentarios Publica un comentario
  1. avatar
    Carlos Pineda
    Jun 8 2017

    Hola muy buen artículo, pero me gustaría nos ayudara a mostrar los símbolos de pequeñas imágenes de su codigo que no se alcanzan a visualizar

    Responder
  2. avatar
    AMERICO RONCAL SARACHAGA
    Sep 12 2016

    es un tema bien didáctico.

    Responder
  3. avatar
    Bladimir
    Ago 25 2016

    Interesante articulo.
    No lo pueden facilitar en PDF?

    Responder
  4. avatar
    ABRAHAM
    Mar 29 2014

    MUY BUENA INFORMACION GRACIAS

    Responder
  5. avatar
    agustin urban roldan
    Mar 11 2014

    me gusto interesante pero deveriancolocar q caracteritias tienen
    cada uno

    Responder
  6. avatar
    José León Ramos Benítez (Kili)
    Mar 2 2014

    muy bueno

    Responder

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