Artículos TécnicosTransmisión

Modelado de líneas de transmisión (Parte 2)

Modelado de líneas de transmisión (Parte 2)

linea de transmision

1.2.4 Impedancia Serie de la Línea Trifásica

 

Para calcular la impedancia serie de una línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se procede en forma similar al cálculo de la impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 1.4, identificándose impedancias, voltajes y corrientes.

linea trifasica

Figura 1.4. Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra.

De la Figura 1.4, se observará que:

resistencia54
(1.22)

 

y las caídas de tensión, en la dirección dada a las corrientes, se expresan como sigue:

 

resistencia55
(1.23)

Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior, se tiene:

resistencia56

Además, se conoce el valor de , y partiendo de estas condiciones, puede establecerse el siguiente sistema de ecuaciones:

 

resistencia57
(1.24)

y en forma más compacta, la ecuación anterior puede escribirse como:

resistencia58
(1.25)

 

donde las impedancias definidas en (1.24), de acuerdo a la ecuación (1.10), pueden calcularse tal como se muestra a continuación. Para las impedancias serie propias de cada fase:

 

resistencia59
(1.26)

 

Además, para las impedancias serie mutuas entre fases, se tiene la expresión siguiente:

 

resistencia60
(1.27)

En ambos casos, las unidades estarán dadas en Ω/ul.

 

1.2.4.1    Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda

 

Por lo general, en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV, se colocan conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestacion, con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas. La Figura 1.5 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda. Por simplicidad, las impedancias resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no se muestran.

 

Para este circuito, el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente:

resistencia61
(1.28)

linea trifasica

Figura 1.5. Línea trifásica con dos hilos de guarda.

 

Nótese que en las ecuaciones (1.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento de las mismas se determina ya sea con la ecuación (1.26) o la (1.27). Considerando la partición matricial mostrada en (1.28) y compactando cada bloque submatricial, se obtiene:

 

resistencia62
(1.29)

 

El objetivo es que, a partir de (1.29), se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico. Esto significa que se debe obtenerse un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a, b, c,  y que, además, tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. Para esto, se aplica el procedimiento que se describe a continuación.

 

De la Figura 1.5, se observará que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero. Si se realiza la operación indicada en (1.29), se obtiene:

 

resistencia63
(1.30)

Resolviendo el segundo renglón para :

resistencia64
(1.31)

Substituyendo (1.31) en la primera expresión de (1.30):

resistencia65

Factorizando a :

resistencia66
(1.32)

La ecuación (1.32) también puede escribirse en forma simplificada como:

resistencia67

de donde:

resistencia68
(1.33)

 

Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (1.28), se ha reducido de cinco renglones a tres. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (1.32). Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de hilos de guarda. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sea igual a cero.

 

Posteriormente, se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (1.28) es equivalente.

 

1.2.4.2    Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados en Cada Fase

 

Los conductores agrupados en cada fase permiten el transporte de altas cantidades de energía, reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión. En caso de que se utilizara un conductor único en cada fase, éste tendría que ser de un calibre que, desde un punto vista de esfuerzos mecánicos, sería impráctico.

 

La Figura 1.6 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase. Por otro lado, la Figura 1.7 muestra el circuito representativo, en este caso, para la fase a de la línea. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y, además, estarán acoplados entre sí.

okgjg

Figura 1.6. Gráfica de la secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase.

conductores agrupados

Figura 1.7. Conductores agrupados para la fase a.

 

Utilizando las ecuaciones (1.26) y (1.27), puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones:

 

resistencia69
(1.34)

De la Figura 1.7, puede observarse las siguientes relaciones de corriente:

resistencia70

así como también las siguientes relaciones de voltaje:

resistencia71

Entonces, efectuando las restas indicadas, el conjunto de ecuaciones (1.34) se modificará y, en forma compacta, resultará en el siguiente:

 

resistencia72
(1.35)

donde:

resistencia73
(1.36)

 

resistencia74
(1.37)

 

resistencia75
(1.38)

 

resistencia76
(1.39)

 

donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones:

 

resistencia77
(1.40)

 

Finalmente, la matriz equivalente trifásica  se calcula mediante la ecuación (1.33).

1.2.5    Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión

 

Para cada línea de transmisión con un solo circuito, una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 1.8.

 

Se considerará que los conductores de fase están integrados por un conductor principal y varios conductores agrupados. Entonces, la matriz de impedancias serie general debe construirse bajo el siguiente orden:

 

1.         Conductores principales.

2.         Conductores agrupados.

3.         Conductores de guarda.

matriz impedancias

Figura 1.8. Forma general de la matriz de impedancias serie.

 

Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos, esto es, que la torre de transmisión soporte más de un circuito, o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía, entonces el orden anterior se modificará. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. En este caso, el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue:

 

1. Conductores principales de A

2. Conductores principales de B

3. Conductores agrupados de A

4. Conductores agrupados de B

5. Hilos de guarda de A

6. Hilos de guarda de B

 

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

 

1.2.6    Aspectos Computacionales

 

El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital, se muestra en la Figura 1.9.

diagrama bloques

Figura 1.9. Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión.

 

A continuación, se describe en detalle cada bloque, marcando las especificaciones generales que cualquier programa de computadora digital de este tipo debe contener.

 

1.2.6.1   Lectura de Datos

 

Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes:

 

  • Número total de conductores
  • Numero de hilos de guarda
  • Resistencia en Ω/ul de cada conductor
  • Radio medio geométrico de cada conductor
  • Coordenadas geométricas de cada conductor
  • Frecuencia
  • Resistividad del terreno
  • Unidad de longitud deseada

 

1.2.6.2    Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores

 

Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación:

 

resistencia78
(1.41)

donde:

xi,  xj  =  coordenadas horizontales de los conductores i  y  j,  respectivamente.

yi,  yj  =  coordenadas verticales de los conductores i  y  j,  respectivamente.

 

Podrá observarse que Dij = Dji, de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre conductores triangular superior o inferior, sin incluir la diagonal.

 

1.2.6.3    Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie

 

Como ya se mencionó anteriormente, el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (1.26) y los no diagonales mediante la ecuación (1.27).

 

1.2.6.4    Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases

 

Aplicando la ecuación (1.33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión. Adicionalmente, puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. Para esto, primeramente se reduce los hilos de guarda y, posteriormente de aplicar las ecuaciones (1.38)-(1.39), se reducirá los conductores agrupados en las fases. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue.

 

Primeramente, se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (1.35):

 

resistencia79
(1.42)

 

Entonces, aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial, esta matriz por bloques se modifica a la siguiente:

 

resistencia80
(1.43)

 

donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por:

 

resistencia81
(1.44)

1.3   ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION

 

La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. Sin embargo, el primero de ellos se desprecia por las razones que se describen a continuación.

 

1.3.1    Conductancia de Líneas de Transmisión

 

Concretamente, para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Este parámetro resulta de la observación de las “corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador, la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este el efecto de estas corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea.

 

1.3.2    Capacitancia Monofásica

 

A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:

resistencia82
(1.45)

 

donde  = 8.854×10-12 F/m, q es la carga en Coulombs. De acuerdo a la Figura 1.10, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:

 

resistencia83
(1.46)

donde es la permitividad del medio circundante.

caida potencial

Figura 1.10   Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.

 

 A partir de la ecuación (1.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual se representa por la Figura 1.11.

linea monofasica

Figura 1.11   Línea monofásica para el análisis de capacitancias

La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente:

resistencia84
(1.47)

y sabiendo que  , la ecuación anterior se simplifica como sigue:

resistencia86
F/m (1.48)

Por definición, la capacitancia es:

resistencia87
F/ul (1.49)

substituyendo (1.48) en (1.49), y considerando que   = r,

resistencia89
F/m (1.50)

 

1.3.3    Capacitancia para Líneas de Transmisión

 

En esta sección, se presentará el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra.

 

La Figura 1.12 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados se determinan mediante la ecuación siguiente:

 

resistencia90

(1.51)

donde:

 

Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia del conductor i a su propia imagen.

Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i.

qj =  carga del conductor j.

conductores

Figura 1.12    Conductores con sus respectivas imágenes, representados por cargas.

 

La ecuación (1.51) puede compactarse para obtener:

resistencia91
(1.52)

 

donde V es el vector de voltajes, P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector que contiene a las cargas. La matriz de coeficientes de potencial se define como:

 

resistencia92
F-1 m (1.53)

 

donde  ri  es el radio exterior del conductor  i.  Si la ecuación anterior se escribe en la forma siguiente:

 

resistencia93
coul/m (1.54)

se podrá definir:

resistencia94
F/ul   (1.55)

 

En términos fasoriales, para la densidad de carga Q y el voltaje V, la ecuación (1.54) se escribe como:

 

resistencia95
(1.56)

multiplicando ambos miembros por jω:

resistencia96
 (1.57)

y sabiendo que  I = YV, entonces:

resistencia97
(1.58)

donde Y, en este caso, es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión.

1.3.4     Aspectos Computacionales

 

La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie, desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico. Se debe notar que la matriz P, para fines computacionales, será considerada como real. A diferencia de la matriz de impedancias, se requiere de la inversión matricial (1.55) y multiplicar por jω para obtener la matriz de admitancias equivalente. Esto puede observarse en la Figura 1.13. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.

 

1.3.4.1    Lectura de Datos

 

Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión, el único dato adicional, con respecto a los definidos para la impedancia serie, es el radio exterior de los conductores.

 

diagrama bloques2

 

Figura 1.13   Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en derivación Yabc, para líneas de transmisión trifásicas.

 

1.3.4.2     Formación de la Matriz de Distancias

 

Las distancias se calculan en base a las coordenadas geométricas de los conductores. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical, entonces, la fórmula para encontrar tales distancias es:

 

resistencia98
(1.59)

1.3.4.3     Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial

 

Para un programa de computadora, las ecuaciones (1.53) pueden rescribirse de la manera siguiente:

 

resistencia99
F-1 m     (1.60)

 

donde  k’  puede tener los valores mostrados en la Tabla 1.2. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea.

 

Tabla 1.2.  Constantes para capacitancias en  nF/ul

 

Constante

Unidad de Longitud

Logaritmo Natural

Logaritmo Base 10

k’

(1/3) k’

km

mi

km

mi

55.630

89.525

18.543

29.842

24.159

38.880

  8.053

12.960

f = 50 Hz

f k’

ωk’

km

mi

km

mi

2781.49

4476.24

17476.57

28125.04

1207.97

1943.99

  7589.90

12214.42

f = 60 Hz

f k’

ωk’

km

mi

km

mi

3337.78

5317.49

20971.89

33750.07

 1449.57

 2309.33

  9107.88

14657.32

nota:  n = nano =10-9.

1.3.4.4     Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados

 

Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie.

 

1.3.4.5     Cálculo de la Matriz Yabc.

 

La matriz de admitancias en derivación trifásica, se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida, y multiplicándola por el término  jω, tal como lo muestran las ecuaciones (1.55) y (1.58). El orden de la matriz por invertir es de 3, únicamente. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente:

 

resistencia100
 (1.61)

 

y las unidades pueden ser mhos (Ω-1) o submúltiplos de mhos/ul. Las más usuales son dadas en micromhos/milla y micromhos/kilometro. Los signos de los elementos en (1.61) se deben a que todos los elementos de la matriz de coeficientes de potencial P son positivos.

 

1.4    TRANSPOSICION DE CONDUCTORES EN LINEAS DE TRANSMISIÓN

 

Hasta este momento, se ha calculado los parámetros de la línea de transmisión en base a sus unidades correspondientes, por unidad de longitud. En esta sección, se obtendrá los parámetros considerando la longitud de la línea, a fin de observar el efecto de las transposiciones sobre los mismos.

 

A manera de ilustración, únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie, debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar.

 

El equivalente trifásico de la impedancia serie relacionando voltajes y corrientes es el siguiente:

 

resistencia101
(1.62)

 

Aquí, es clara la existencia de acoplamientos mutuos, de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes. Además, estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí, aun para corrientes balanceadas, debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea.

 

Únicamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero, es decir, que Dab = Dbc = Dca. Sin embargo, este tipo de arreglo es pocas veces utilizado en la realidad, debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea.

 

Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de  transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea.

1.4.1     Método General de Transposiciones

 

Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición, tal como muestra la Figura 1.14, donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones.

 

Esquema de la transposición

 

Figura 1.14  Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión.

 

Matemáticamente, para lograr las rotaciones se utiliza las dos matrices de rotación siguientes:

 

resistencia102
(1.63)

y su inversa:

resistencia103
(1.64)

pudiéndose comprobar que Rø-1 = Røt.

Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales definidas como:

 

Rø Vabc = (Rø Zabc Rø-1 )Rø Iabc                             (1.65)

 

que es llamada “Transformación Rø. Además,

 

Rø -1 Vabc = (Rø-1 Zabc Rø )Rø-1 Iabc                (1.66)

 

la cual es conocida como “Transformación Rø-1.

 

Si se desea analizar el efecto de la transposición, sin tomar en cuenta la longitud S de la línea, entonces se define lo siguiente para un ciclo completo:

 

resistencia104
(1.67)

donde:

resistencia105
(1.68)

 

Partiendo de la Figura 1.14, el cálculo de parámetros con transposiciones, para cada una de las secciones es como sigue:

Primera sección:

Z(1) = (Zabc) (s1)        Ω                      (1.69)

Segunda sección:

Z(2)  = (Rø-1 Zabc Rø) (s2)      Ω                  (1.70)

Tercera sección:

Z(3)  = (Rø Zabc Rø-1 ) (s3)      Ω                       (1.71)

Por último, se tendrá la impedancia serie total de la línea de transmisión:

Zabc = Z(1) + Z(2) + Z(3)         Ω                          (1.72)  

 

De acuerdo a lo anterior, puede observarse que con este método puede calcularse transposiciones en cantidades y longitudes que se desee.

1.4.2     Línea No Transpuesta

 La Figura 1.15 muestra una línea no transpuesta. El modelo matricial permite observar que el mayor grado de desbalance que puede existir entre los acoplamientos mutuos se presenta en este caso, cuya impedancia serie de la línea, considerando su longitud, se determina como sigue:

Línea No Transpuesta

Figura 1.15   Línea No Transpuesta

 

s = S                 (1.73)

s2  =  s3 = 0            (1.74)

Zabc = Z(1)             (1.75)

 

1.4.3     Línea Con Transposiciones Parciales

 

Una transposición parcial es la que resulta de dividir a la línea en solo dos secciones de longitud y haciendo una rotación, tal como lo muestra la Figura 1.16.

 

image348

Figura 1.16  Línea de transmisión con transposición parcial.

 

En este caso,

 

S =  s1 + s2                          (1.76)

s3 = 0                                   (1.77)

Zabc = Z(1)  + Z(2)            (1.78)

 

donde, la rotación se logra aplicando las ecuaciones (1.69) y (1.70), para calcular Z(1)  y Z(2) , respectivamente. Si se aplica la ecuación (1.71) en lugar de la (1.70), se logrará el mismo efecto, pero con una rotación en sentido opuesto.

 

El grado de desbalance para el caso de líneas con transposiciones parciales será menor que en el caso de tener una línea no transpuesta, debido a que una rotación ayuda considerablemente al balanceo de los efectos mutuos.

 

En general, los resultados de las dos secciones anteriores serán los siguientes:

resistencia106
 (1.79)

donde:

resistencia107
(1.80)

 

Las transposiciones completas de línea son las que permiten balancear perfectamente los efectos propios y mutuos. Sin embargo, cualquier tipo de transposición, ya sea parcial o total, económicamente resultará costosa, además de que los desbalances en los acoplamientos mutuos son relativamente pequeños, por lo que normalmente las líneas no se transponen, aun cuando los modelos matemáticos consideren balanceados los efectos mutuos.

 

Ante una transposición ideal, se tendrá el siguiente modelo trifásico de la línea de transmisión:

 

resistencia108
(1.81)

 

Para todos los casos anteriores, se obtiene un modelo trifásico de los efectos serie y derivación de la línea de transmisión. Sin embargo, cuando se tiene el caso de dos líneas de transmisión sobre un mismo derecho de vía o dos o más líneas físicamente cercanas entre sí, el modelo que se obtiene será de orden mayor tal como se describe en la siguiente sección.

1.5    LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON CIRCUITOS MULTIPLES

 

 Cuando una línea de transmisión contiene dos o más circuitos en paralelo, entonces se habla de un sistema de transmisión de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas, las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente:

 

resistencia109
(1.82)

donde:

resistencia110
(1.83)

 

El orden del conjunto de ecuaciones (1.82) será de 3 veces el número de circuitos múltiples. Por ejemplo, para una línea con dos circuitos múltiples, el modelo matricial será de orden 6.

 

Como se explicó anteriormente, ante la presencia de circuitos múltiples se tiene que construir el modelo matricial de la siguiente manera:

 

1.         Conductores principales de A

2.         Conductores principales de B

3.         Conductores agrupados de A

4.         Conductores agrupados de B

5.         Hilos de guarda de A

6.         Hilos de guarda de B

 

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

 

Continue leyendo la 1ra y 3ra parte, de este interesante artículo:

 

Modelado de líneas de transmisión (Parte 1)

Modelado de líneas de transmisión (Parte 3)

 

Bibliografía:

  • Mo-Shing Chen, Power System Modeling, University of Texas at Arlington
  • Paul Anderson, Analysis of Faulted Power System

 

Fuente: elec.itmorelia

 

 

Se agradece a los autores por el valioso aporte:

Autores:

Dr. José Horacio Tovar Hernández

Dr. Héctor Francisco Ruiz Paredes

Instituto Tecnológico de Morelia, México (2011)

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