Modelado de líneas de transmisión (Parte 3)

1.6 TRANSFORMACIÓN LINEAL DE COMPONENTES SIMÉTRICAS

 Esta transformación, definida desde un punto de vista práctico, en función de fasores, por C.L. Fortescue en 1918, puede justificarse matemáticamente, aplicando la teoría de transformaciones lineales.

 

 1.6.1 Cambio del Marco de Referencia de Fases al Marco de Referencia de Secuencias

 

Considerando que se tiene un sistema trifásico balanceado perfectamente, cuya matriz de coeficientes es la siguiente:

 

Una transformación lineal permite trasladar un conjunto de ecuaciones definido en un marco de referencia a otro. Por ejemplo, en el “marco de referencia de circuitos trifásicos”, el modelo matricial que relaciona voltajes y corrientes es:

 

El cual puede trasladarse al “marco de referencia de las componentes simétricas”, aplicando la transformación lineal siguiente:

 

o también, 

Premultiplicando ambos miembros por :

y de aquí,  se obtiene que:

donde:

Entonces, el problema para pasar de un marco de referencia a otro consiste en encontrar la matriz de transformación, de modo que se obtenga alguna ventaja con respecto al marco de referencia original, ya sea en cuestión de conceptos o de simplificación de la resolución de problemas de redes eléctricas.

 

 1.6.2 Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas

 

Se conoce que dos matrices, A y B, están relacionadas por medio de la transformación lineal siguiente:

 

O viceversa,  y también, se conoce que los valores propios o eigenvalores de ambas matrices serán los mismos. Por esta razón, se dice que A y B son semejantes y que (1.88) se conoce como transformación de similaridad o semejanza. Si la matriz A, por ejemplo, es de la forma diagonal:

 

 

Entonces, el determinante característico se calcula de acuerdo al teorema de Cayley-Hamilton como:

 

 = p(λ) = 0

 

el cual al desarrollarlo, resulta en:

Donde U es la matriz identidad o unitaria. Si se iguala a cero este determinante característico, se obtiene el polinomio característico del arreglo matricial, que al resolverlo se obtendrán sus respectivas raíces llamadas también valores propios. Es decir, si

 

 

entonces, se tiene:

 

 

Puede concluirse que los valores propios de una matriz completamente diagonal son precisamente sus correspondientes elementos diagonales.

 

Ahora bien, si se requiere substituir una red trifásica por un sistema equivalente de redes desacopladas, entonces, se deberá obtener una matriz completamente diagonal, a partir de una matriz original Z_abc, utilizando la transformación lineal (1.88). Esto obliga a pensar en obtener una matriz de transformación T de modo que la matriz semejante a Z_abc, llamada matriz de componentes simétricas, denotada como Z₀₁₂, sea completamente diagonal.

 

En términos generales, un circuito trifásico puede representarse matricialmente en la forma siguiente:

 

donde los elementos no diagonales representan los acoplamientos mutuos entre fases y los diagonales son las impedancias propias de cada una de las fases. Si se supone que el circuito trifásico esta perfectamente balanceado, entonces Z_abc se simplifica a la matriz:

 

 

El correspondiente determinante característico de este modelo matricial será el siguiente:

 

 

Al desarrollar este determinante e igualarlo a cero, se obtiene el polinomio característico correspondiente y cuyas soluciones son:

 

Para determinar la matriz de transformación lineal, T_s, debe calcularse los eigenvectores o vectores propios, los cuales representarán cada columna de la misma. Cada vector propio es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneo  [λ_iU – Z_abc]=0. En este caso, se tienen tres valores propios, de modo que se resolverán tres sistemas de ecuaciones de este tipo.

 

Para cuando se aplica  λ₁ = Z + 2M, se tiene el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente:

Dividiendo el conjunto de ecuaciones entre M:

 

 

Al aplicar operaciones elementales de renglón, se reducirá este conjunto de ecuaciones a un triangular superior:

 

 

el cual tiene un número infinito de soluciones, incluyendo la trivial, donde cada una cumple que  x₁₁ = x₂₁ = x₃₁, de donde se obtiene que este vector propio será:

 

 

y se podrá observar que un caso particular es el siguiente:

 

 

Repitiendo el mismo proceso para  λ₂ = Z–M,  se obtiene el conjunto de ecuaciones homogéneo:

 

Dividiendo entre –M y aplicando operaciones elementales de renglón, el conjunto de ecuaciones anterior se reduce a:

 

 

El cual tiene un número infinito de soluciones, donde cada una de ellas estará definida por una combinación que cumpla con la igualdad  . Por ejemplo, este vector propio podría ser:

, etc.

Debe mencionarse que una característica que debe tener la matriz de transformación es que es invertible, de modo que los vectores propios que la conforman deben ser linealmente independientes. Normalmente, para que esto ocurra, los valores propios deben ser distintos entre sí. En caso contrario, no será posible obtener una matriz semejante diagonal. Sin embargo, en este caso en particular, λ₂ = λ₃, aunque, debido a que se tiene dos grados de libertad para seleccionar valores, es posible definir dos vectores propios.

 

Para el modelo trifásico perfectamente balanceado, se define la matriz de transformación lineal:

 

donde . La inversa de T_s ,  será:

Anteriormente, se mencionó que el objetivo era encontrar una matriz diagonal representativa del sistema trifásico original mediante tres circuitos monofásicos independientes o desacoplados entre sí.

 

Para ello, puede formalmente plantearse el problema de pasar de un sistema de coordenadas de fase (abc) al sistema de coordenadas de secuencia (012). En este caso, se parte de la relación lineal:

 

 

a la cual se le aplica la regla de transformación lineal, usando como matriz de transformación a la matriz de componentes simétricas T_s:

 

Premultiplicando ambos lados de la expresión anterior por :

y en términos de las coordenadas de secuencia:

donde:

Es fácilmente demostrable que realizando el producto matricial anterior, se obtiene una matriz diagonal de la forma:

 

Donde se nota que los elementos diagonales son exactamente los valores propios de Z_abc. La matriz (5.10) representará tres circuitos monofásicos desacoplados electromagnéticamente entre sí. Este concepto se ilustra en la Figura 1.17, donde se muestra un circuito trifásico y sus respectivas redes de secuencia monofásicas y desacopladas.

 

Figura 1.17   Red trifásica y redes monofásicas de secuencia desacopladas.

 

1.6.3     Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Múltiples

 

Cuando una red eléctrica contiene dos o más circuitos trifásicos acoplados magnéticamente, entonces se habla de un sistema trifásico de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente:

 

donde:

Mediante una transformación lineal, puede establecerse que:

donde:

 

Los vectores de voltaje y corriente de secuencia serán los siguientes:

De manera similar al caso del circuito trifásico único, se tiene la expresión relacionando voltajes y corrientes de secuencia:

 

donde:

En este caso, se tiene un modelo matemático en el marco de referencia de fase, caracterizado por acoplamientos mutuos entre fases, el cual se convierte en varios circuitos desacoplados entre sí, al pasar al marco de referencia de secuencias.

 

Sin embargo, debe recordarse que la transformación de componentes simétricas se obtiene partiendo de un modelo de circuito trifásico perfectamente balanceado. Esto implica que para modelos que no cumplan con esta condición, el desacoplamiento de los circuitos de secuencia no será total. De hecho, una situación típica se presenta al aplicar la transformación al modelo de una línea con circuitos múltiples, donde se observa un fuerte acoplamiento entre las componentes de secuencia cero.

 

El tratamiento de las transposiciones para líneas de transmisión con múltiples circuitos, es semejante a la aplicación de la transformación de componentes simétricas, es decir, las transformaciones lineales se aplican en forma de bloques diagonales, cuyo número dependerá de los circuitos múltiples involucrados.

 

 

Figura 2.8.3 Estructura de la línea de transmisión, por ejemplo 2.

 

donde:

donde:

Z_s=T_p^-1Z_pT_p

Un enfoque similar se puede utilizar para la transformación de Clarke-component.

Figura 2.13.1 La configuración de la línea de transmisión, por ejemplo, 4.

 

 

 

 

 

 

Si se perdió los artículos anteriones puede verlos en:

Modelado de líneas de transmisión (Parte 1)

Modelado de líneas de transmisión (Parte 2)

 

Bibliografía:

• Mo-Shing Chen, Power System Modeling, University of Texas at Arlington
• Paul Anderson, Analysis of Faulted Power System,

 

Fuente: elec.itmorelia

 

Se agradece a los autores por el valioso aporte:

Autores:

Dr. José Horacio Tovar Hernández

Dr. Héctor Francisco Ruiz Paredes

Instituto Tecnológico de Morelia, México (2011)